Антагонистическая игра может быть задана. Матричные игры антагонистические игры. Методы решения матричной игры в смешанных стратегиях

Подход к решению матричных игр может быть обобщен на случай антагонистических игр, в которых платеж игроков задается в виде непрерывной функции (бесконечная антагонистическая игра).

Такая игра представляется как игра двух игроков, в которой игрок 1 выбирает число х из множества X, игрок 2 выбирает число у из множества 7, и после этого игроки 1 и 2 получают соответственно выигрыши U (х, у) и -U(x, у). Выбор определенного числа игроком означает применение его чистой стратегии, соответствующей этому числу.

По аналогии с матричными играми чистой нижней ценой игры можно назвать v { = max min U(x, у), а чистой верхней ценой игры -v 2 =

min max U{x, у). Тогда по аналогии можно считать, что если для какой-

у *

либо бесконечной антагонистической игры величины V и v 2 существуют и равны между собой («i =v 2 =v), то такая игра имеет решение в чистых стратегиях, т.е. оптимальной стратегией игрока 1 является выбор числа х° е X, а игрока 2 - числа у 0 е 7, при которых Щх { у 0) -v.

В этом случае v называется чистой ценой игры, а (х°, у 0) - седловой точкой бесконечной антагонистической игры.

Для матричных игр величины v x и v 2 всегда существуют, но в бесконечных антагонистических играх они могут и не существовать, т.е. бесконечная антагонистическая игра не всегда разрешима.

При формализации реальной ситуации в виде бесконечной антагонистической игры обычно выбирается единичный стратегический интервал - единичный промежуток, из которого игроки могут сделать выбор (х - число (стратегия), выбираемое игроком 1; -

число (стратегия), выбираемое игроком 2). Технически это упрощает решение, так как простым преобразованием любой интервал можно перевести в единичный и наоборот. Такая игра называется антагонистической игрой на единичном квадрате.

Для примера допустим, что игрок 1 выбирает число х из множества Х= , игрок 2 выбирает число у из множества Y= . После этого игрок 2 платит игроку 1 сумму Щх, у) -2х 2 -у 2 . Поскольку игрок 2 стремится минимизировать платеж игрока 1, то он определяет min (2х 2 - у 2) = 2х 2 - 1, т.е. при этому= 1. Игрок 1 стремится мак- тег

симизировать свой платеж, поэтому определяет maxi min Щх, у)1 =

xGX у ег

- max (2х 2 - 1) = 2- 1 = 1, который достигается при х = 1.

Таким образом, нижняя чистая цена игры v x - 1. Верхняя чистая

цена игры v 2 = min - min (2 - у 2) = 2 - 1 = 1, т.е. в этой

>ег хех у еу

игре v l =v 2 =l. Поэтому чистая цена игры v = 1, а седловая точка (х° = 1; у°=1).

Предположим теперь, что Хи Y- открытые интервалы, т.е. игрок 1 выбираетxeA"=(0; 1), игрок 2 выбирает уе 7= (0; 1). В этом случае, выбирая х, достаточно близкое к 1, игрок 1 будет уверен, что он получит выигрыш не меньше, чем число, близкое к»=1; выбирая у, близкое к 1, игрок 2 не допустит, чтобы выигрыш игрока 1 значительно превышал чистую цену игры v= 1.

Степень близости к цене игры может характеризоваться числом?>0. Поэтому в описываемой игре можно говорить об оптимальности чистых стратегий х° = 1, у 0 = 1 соответственно игроков 1 и 2 с точностью до произвольного числа?>0. Точка (х„ , у Е), где х е е X, у (. eY, в бесконечной антагонистической игре называется точкой z-равновесия (с.-седловой точкой) , если для любых стратегий хеТигрока 1,уе Тигро- ка 2 имеет место неравенство Щх, у.) - ? Щ x r , у (.) U(x t ., у) + ?. В этом случае стратегии х к. и у. называются с,-оптимальными стратегиями . Эти стратегии являются оптимальными с точностью до? в том смысле, что если отклонение от оптимальной стратегии никакой пользы игроку принести не может, то его отклонение от с-оптимальной стратегии может увеличить его выигрыш не более чем на е.

Если игра не имеет седловой точки (с-седловой точки), т.е. решения в чистых стратегиях, то оптимальные стратегии можно искать среди смешанных стратегий, в качестве которых используются функции распределения вероятностей применения игроками чистых стратегий.

Пусть F(x) - функция распределения вероятностей применения чистых стратегий игроком 1. Если число Е, - чистая стратегия игрока 1, то F(x) = P(q где P(q - Х) - вероятность того, что случайно выбранная чистая стратегия Е, не будет превосходить х. Аналогично рассматривается функция распределения вероятностей применения чистых стратегий г| игроком 2: Q(y) = Р(г .

Функции F(x) и Q(y) называются смешанными стратегиями соответственно игроков 1 и 2. Если Fx) и Q(y) дифференцируемы, то существуют их производные, обозначаемые соответственно через f{x) и q(y) (функции плотности распределения).

В общем случае дифференциал функции распределения dF{x ) выражает вероятность того, что стратегия с, находится в промежутке х Е, Аналогично для игрока 2: dQ(y) означает вероятность того, что его стратегия р находится в интервале у г| у+dy. Тогда платеж игрока 1 составит Щх, у) dF(x), а платеж игрока 2 равен Щх, у) dQ(y).

Средний платеж игрока 1 при условии, что игрок 2 применяет свою чистую стратегию у, можно получить, проинтегрировав платежи по всем возможным значениям х, т.е. на единичном интервале:

Средний платеж игрока 1 при условии, что оба игрока применяют свои смешанные стратегии F{x) и Q(y), будет равен

По аналогии с матричными играми определяются оптимальные смешанные стратегии игроков и цена игры: если пара смешанных стратегий F*(x ) и Q*(y) соответственно для игроков 1 и 2 являются оптимальными, то для любых смешанных стратегий F(x) и Q(y) справедливы соотношения:

Если игрок 1 отступает от своей стратегии F*(x), то его средний выигрыш не может увеличиться, но может уменьшиться из-за рациональных действий игрока 2. Если игрок 2 отступит от своей смешанной стратегии Q*(y), то средний выигрыш игрока 1 может увеличиться, но не уменьшиться, за счет более разумных действий игрока 1. Средний выигрыш E(F*, Q*), получаемый игроком 1 при применении игроками оптимальных смешанных стратегий, соответствует цене игры.

Тогда нижняя цена бесконечной антагонистической игры, решаемой в смешанных стратегиях, может быть определена как v x = шах

min Е (FQ), а верхняя цена игры как v 2 = min max Е(F, Q).

Q Q f

Если существуют такие смешанные стратегии F* (х) и Q* (у) соответственно для игроков 1 и 2, при которых нижняя и верхняя цены игры совпадают, то F*(x) и Q*(y) естественно назвать оптимальными смешанными стратегиями соответствующих игроков, a v=v x = v 2 - ценой игры.

В отличие от матричных игр решение бесконечной антагонистической игры существует не для всякой функции Щх, у). Но доказана теорема о том, что всякая бесконечная антагонистическая игра с непрерывной платежной функцией Щх, у) на единичном квадрате имеет решение (игроки имеют оптимальные смешанные стратегии), хотя общих методов для решения бесконечных антагонистических игр, в том числе непрерывных игр, не существует. Однако достаточно просто решаются антагонистические бесконечные игры с выпуклыми и вогнутыми непрерывными платежными функциями (они называются соответственно выпуклыми и вогнутыми играми).

Рассмотрим решение игр с выпуклой платежной функцией. Решение игр с вогнутой функцией выигрыша симметрично.

Выпуклой функцией/переменной х на интервале (а ; Ь) называется такая функция, для которой выполняется неравенство

где Хх и х 2 - любые две точки из интервала (а; b );

Х.1, А.2 > 0, причем +Х.2= 1.

Если для / ч * 0 Д 2 * 0, всегда имеет место строгое неравенство

то функция/называется строго выпуклой на (а; Ь).

Геометрически выпуклая функция изображает дугу, график которой расположен ниже стягивающей ее хорды. Аналитически выпуклость дважды дифференцируемой функции соответствует неотрицательности (а в случае строгой выпуклости - положительности) ее второй производной.

Для вогнутых функций свойства противоположны, для них должно выполняться неравенство/(/4X1 +А.2Х2) > Kf (xi) +)-if (х 2) (> при строгой вогнутости), а вторая производная/"(х)

Доказано , что непрерывная и строго выпуклая функция на замкнутом интервале принимает минимальное значение только в одной точке интервала. Если Щх, у) - непрерывная функция выигрышей игрока 1 на единичном квадрате и строго выпуклая по у для любого х, то имеется единственная оптимальная чистая стратегия у=у° е для игрока 2, цена игры определяется по формуле

а значение у 0 определяется как решение следующего уравнения:

Если функция Щх, у) не строго выпуклая по у, то у игрока 2 оптимальная чистая стратегия не будет единственной.

Симметричное свойство выполняется и для строго вогнутых функций. Если функция Щх, у) непрерывна по обоим аргументам и строго вогнута по х при любом у, то игрок 1 имеет единственную оптимальную стратегию.

Цена игры определяется по формуле

а чистая оптимальная стратегия х 0 игрока 1 определяется из уравнения

На основании этих свойств бесконечных антагонистических игр с выпуклой или вогнутой функциями выигрыша построена общая схема решения таких игр на единичном квадрате (х е , у е ). Приведем эту схему лишь для выпуклых игр , поскольку для вогнутых игр она симметрична.

1. Проверить функцию Щх, у) на выпуклость по у (вторая частная производная должна быть больше либо равна 0).

2. Определить у 0 из соотношения v- min max Щх, у) как значение

у, на котором достигается минимакс.

3. Найти решение уравнения v = U(x, у 0) и составить пары его решений Х и х 2 , для которых

4. Найти параметр а из уравнения

Параметр а определяет оптимальную стратегию игрока 1 и имеет смысл вероятности выбора им его чистой стратегии х х. Величина 1 - а имеет смысл вероятности выбора игроком 1 его чистой стратегии х 2 .

Покажем на примере использование этой схемы для решения игры такого вида. Пусть функция выигрыша в бесконечной антагонистической игре задана на единичном квадрате и равна Щх, у) = = (х - у) 2 =х 2 - 2ху ч-у 2 .

1. Эта функция непрерывна по х и у, и поэтому эта игра имеет решение. Функция Щх, у) строго выпукла по у, так как

Следовательно, игрок 2 имеет единственную чистую оптимальную стратегию у 0 .

2. Имеем v = min max (х - у) 2 . Для определения max (х 2 - 2ху Ч-у 2)

последовательно найдем первую и вторую частные производные пла- тежной функции по х:

Таким образом, функция U имеет минимум для любого у при х=у. Это значит, что при ху - возрастает, а ее максимум должен достигаться в одной из крайних точек х=0 или х= 1. Определим значения функции U в этих точках:

Тогда шах (х - у) 2 = тах {у 2 ; 1 - 2у+у 2 }. Сравнивая «внутренние»

максимумы, стоящие в фигурных скобках, легко заметить, что у 2 > 1 - - 2у+у 2 , если у > */ 2 и у 2 1 - 2у+у 2 , если у "/ 2 . Более наглядно это представляется графиком (рис. 2.5).

Рис. 2.5. Внутренние максимумы платежной функции U(х, у) = (х- у ) 2

Поэтому выражение (х - у) 2 достигает своего максимума при х=0, если у > 7 2 , и при х= 1, если у У 2:

Следовательно, v= min { min у 2 ; min (1 - у) 2 }. Каждый из вну-

тренних минимумов достигается при у= */ 2 и принимает значение У 4 . Таким образом, цена игры г = У 4 , а оптимальная стратегия игрока 2:

3. Определим оптимальную стратегию игрока 1 из уравнения U(x, у 0)=v, т.е. для данной игры (х - У 2) 2 =У 4 . Решением этого уравнения ЯВЛЯЮТСЯ Х| =0, х 2 = 1.

Для них выполняются условия

4. Определим параметр а, т.е. вероятность применения игроком 1 его чистой стратегии Х] = 0. Составим уравнение а-1 + (1 - а) (-1)=0, откуда а = У 2 . Таким образом, оптимальная стратегия игрока 1 состоит в выборе им своих чистых стратегий 0 и 1 с вероятностью 1 / 2 каждая. Задача решена.

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Введение

1. Теоретическая часть

1.3 Игра порядка 2х2

1.4 Алгебраический метод

1.5 Графический метод

1.6 Игры 2xn или mx2

1.7 Решения игр матричным методом

2. Практическая часть

2.2 Игры 2xn и mx2

2.3 Матричный метод

2.4 Метод Брауна

Анализ результатов

Введение

Антагонистическая игра - это игра с нулевой суммой. Антагонистической игрой называется некооперативная игра, в которой участвуют два игрока, выигрыши которых противоположны.

Формально антагонистическая игра может быть представлена тройкой , где X и Y -- множества стратегий первого и второго игроков, соответственно, F -- функция выигрыша первого игрока, ставящая в соответствие каждой паре стратегий (x,y), где действительное число, соответствующее полезности первого игрока при реализации данной ситуации.

Так как интересы игроков противоположны, функция F одновременно представляет и проигрыш второго игрока.

Исторически антагонистические игры являются первым классом математических моделей теории игр, при помощи которых описывались азартные игры. Считается, что благодаря этому предмету исследования теория игр и получила свое название. В настоящее время антагонистические игры рассматриваются как часть более широкого класса некооперативных игр.

1. Теоретическая часть

1.1 Основные определения и положения игры

Игра характеризуется системой правил, определяющих количество участников игры, их возможные действия и распределение выигрышей в зависимости от их поведения и исходов. Игроком принято считать одного участника или группу участников игры, имеющих одни общие для них интересы, не совпадающие с интересами других групп. Поэтому не каждый участник считается игроком.

Правила или условия игры определяют возможные поведения, выборы и ходы для игроков на любом этапе развития игры. Сделать выбор игроку, это значит остановиться на одной из его возможностей поведения. Затем игрок осуществляет этот выбор с помощью ходов. Сделать ход -- это значит на определенном этапе игры осуществить сразу весь выбор или его часть в зависимости от возможностей, предусмотренных правилами игры. Каждый игрок на определенном этапе игры делает ход согласно сделанному выбору. Другой игрок, зная или не зная о сделанном выборе первого игрока, также делает ход. Каждый из игроков старается учесть информацию о прошлом развитии игры, если такая возможность разрешается правилами игры.

Набор правил, которые однозначно указывают игроку, какой выбор он должен сделать при каждом ходе в зависимости от ситуации, сложившейся в результате проведения игры, называется стратегией игрока. Стратегия в теории игр означает определенный законченный план действий игрока, показывающий, как надо действовать ему во всех возможных случаях развития игры. Стратегия означает совокупность всех указаний для любого состояния информации, имеющейся у игрока на любом этапе развития игры. Отсюда уже видно, что стратегии могут быть хорошими и плохими, удачными и неудачными и т. д.

Игра с нулевой суммой будет тогда, когда сумма выигрышей всех игроков в каждой ее партии равна нулю, т. е. в игре с нулевой суммой общий капитал всех игроков не меняется, а перераспределяется между игроками в зависимости от получающихся исходов. Так, многие экономические и военные ситуации можно рассматривать как игры с нулевой суммой.

В частности игра двух игроков с нулевой суммой называется антагонистической, так как цели игроков в ней прямо противоположные: выигрыш одного игрока происходит только за счет проигрыша другого.

1.1.1 Определение, примеры и решения матричных игр в чистых стратегиях

Матричная игра двух игроков с нулевой суммой может рассматриваться как следующая абстрактная игра двух игроков.

Первый игрок имеет т стратегий i =1, 2,…, т, второй имеет п стратегий j = 1, 2,…, п. Каждой паре стратегий (i, j) поставлено в соответствие число a ij , выражающее выигрыш первого игрока за счет второго игрока, если первый игрок применит свою i-ю стратегию, а второй -- свою j-ю стратегию.

Каждый из игроков делает один ход: первый игрок выбирает свою i-ю стратегию (i =1, 2,…, т), второй --свою j-ю стратегию (j = 1, 2,…, п), после чего первый игрок получает выигрыш a ij за счет второго игрока (если a ij < 0, то это значит, что первый игрок платит второму сумму a ij). На этом игра заканчивается.

Каждая стратегия игрока i = 1, 2,…, т; j = 1, 2,…, п часто называется чистой стратегией.

Матричная игра двух игроков с нулевой суммой далее будет называться просто матричной игрой. Очевидно матричная игра относится к антагонистическим играм. Из ее определения следует, что для задания матричной игры достаточно задать матрицу А = (a ij) порядка тп выигрышей первого игрока.

Если рассмотреть матрицу выигрышей

то проведение каждой партии матричной игры с матрицей А сводится к выбору первым игроком i-й строки, а вторым игроком j-го столбца и получения первым игроком (за счет второго) выигрыша, находящегося в матрице А на пересечении i-й строки и j-го столбца.

Для формализации реальной конфликтной ситуации в виде матричной игры надо выделить и перенумеровать чистые стратегии каждого игрока и составить матрицу выигрышей.

Следующий этап -- это определение оптимальных стратегий и выигрышей игроков.

Главным в исследовании игр является понятие оптимальных стратегий игроков. В это понятие интуитивно вкладывается такой смысл: стратегия игрока является оптимальной, если применение этой стратегии обеспечивает ему наибольший гарантированный выигрыш при всевозможных стратегиях другого игрока. Исходя из этих позиций, первый игрок исследует матрицу А своих выигрышей по формуле (1.1) следующим образом: для каждого значения i (i =1, 2,…, т) определяется минимальное значение выигрыша в зависимости от применяемых стратегий второго игрока

(i = 1, 2,..., m) (1.2)

т. е. определяется минимальный выигрыш для первого игрока при условии, что он применит свою i - ю чистую стратегию, затем из этих минимальных выигрышей отыскивается такая стратегия i=i 0 , при которой этот минимальный выигрыш будет максимальным, т. е. находится

Определение. Число б, определенное по формуле (1.3), называется нижней чистой ценой игры и показывает, какой минимальный выигрыш может гарантировать себе первый игрок, применяя свои чистые стратегии при всевозможных действиях второго игрока.

Второй игрок при оптимальном своем поведении должен стремиться по возможности за счет своих стратегий максимально уменьшить выигрыш первого игрока. Поэтому для второго игрока отыскивается

т. е. определяется максимальный выигрыш первого игрока, при условии, что второй игрок применит свою j-ю чистую стратегию, затем второй игрок отыскивает такую свою j = j 1 стратегию, при которой первый игрок получит минимальный выигрыш, т. е. находит

Определение. Число в, определенное по формуле (1.5), называется чистой верхней ценой игры и показывает, какой максимальный выигрыш за счет своих стратегий может себе гарантировать первый игрок. Другими словами, применяя свои чистые стратегии первый игрок может обеспечить себе выигрыш не меньше б, а второй игрок за счет применения своих чистых стратегий может не допускать выигрыш первого игрока больше, чем в.

Определение. Если в игре с матрицей А нижняя и верхняя чистые цены игры совпадают, т. е. б = в, то говорят, что эта игра имеет седловую точку в чистых стратегиях и чистую цену игры:

н = б = в (1.6)

Седловая точка -- это пара чистых стратегий () соответственно первого и второго игроков, при которых достигается равенство

В понятие седловой точки вложен следующий смысл: если один из игроков придерживается стратегии, соответствующей седловой точке, то другой игрок не сможет поступить лучше, чем придерживаться стратегии, соответствующей седловой точке. Имея в виду, что лучшее поведение игрока не должно приводить к уменьшению его выигрыша, а худшее -- может приводить к уменьшению его выигрыша, эти условия можно записать математически в виде следующих соотношений:

где i, j -- любые чистые стратегии соответственно первого и второго игроков; (i 0 , j 0) -- стратегии, образующие седловую точку. Ниже будет показана эквивалентность определения седловой точки условиям (1.8).

Таким образом, исходя из (1.8), седловой элемент является минимальным в i 0 -й строке и максимальным в j 0 -м столбце в матрице А. Отыскание седловой точки матрицы А происходит легко: в матрице А последовательно в каждой строке находят минимальный элемент и проверяют, является ли этот элемент максимальным в своем столбце. Если он является таковым, то он и есть седловой элемент, а пара стратегий, соответствующая ему, образует седловую точку. Пара чистых стратегий (i 0 , j 0) первого и второго игроков, образующая седловую точку и седловой элемент называется решением игры.

Чистые стратегии i 0 и j 0 образующие седловую точку, называются оптимальными чистыми стратегиями соответственно первого и второго игроков.

Теорема 1. Пусть f (х, у) вещественная функция двух переменных х А и у В и существует

тогда б = в.

Доказательство. Из определения минимума и максимума следует, что

Поскольку в левой части (1.11) х любое, то

В правой части неравенства (1.12) у любое, поэтому

что и требовалось доказать.

В частности, матрица () есть частный случай функции f (х, у), т. е. если положить х = i, у = j, = f (х, у), то из теоремы 1 получим, что нижняя чистая цена не превосходит верхнюю чистую цену игры в матричной игре.

Определение. Пусть f (х, у) действительная функция двух переменных х А и у В. Точка (х 0 , у 0) называется седловой для функции f (х, у), если выполняются следующие неравенства

f (х, у 0) f (х 0 , у 0)f (х 0 , у) (1.14)

при любых х А и у В.

1.2 Оптимальные смешанные стратегии и их свойства

Исследование матричной игры начинается с нахождения ее седловой точки в чистых стратегиях. Если матричная игра имеет седловую точку в чистых стратегиях, то нахождением этой точки заканчивается исследование игры. Если же в матричной игре нет седловой точки в чистых стратегиях, то можно найти нижнюю и верхнюю чистые цены этой игры, которые указывают, что первый игрок не должен надеяться на выигрыш больший, чем верхняя цена игры, и может быть уверен в получении выигрыша не меньше нижней цены игры. Такие рекомендации относительно поведения игроков в матричной игре без седловой точки в чистых стратегиях не могут удовлетворять исследователей и практических работников. Улучшение решений матричных игр следует искать в использовании секретности применения чистых стратегий и возможности многократного повторения игр в виде партий. Так, например, проводится серия игр в шахматы, шашки, футбол, и каждый раз игроки применяют свои стратегии таким образом, что их противники не догадываются об их содержании, и на этом пути в среднем достигают определенных выигрышей, сыграв всю серию партий. Эти выигрыши в среднем больше нижней цены игры и меньше верхней цены игры. Чем больше это среднее значение, тем лучше стратегии применяет игрок. Поэтому возникла идея применять чистые стратегии случайно, с определенной вероятностью. Это полностью обеспечивает секретность их применения. Каждый игрок может изменять вероятности применения своих чистых стратегий таким образом, чтобы максимально увеличить свой средний выигрыш и на этом пути получать оптимальные стратегии. Такая идея привела к понятию смешанной стратегии.

Определение. Смешанной стратегией игрока называется полный набор вероятностей применения его чистых стратегий.

Таким образом, если первый игрок имеет т чистых стратегий 1, 2, … i,… m, то его смешанная стратегия х -- это набор чисел х = (х 1 , х 2 , ..., х i ,…, х т) удовлетворяющих соотношениям

x i 0 (i = 1, 2, ... , т), = 1. (1.15)

Аналогично для второго игрока, который имеет п чистых стратегий, смешанная стратегия у -- это набор чисел у = (у 1 ,…, у j , … у n), удовлетворяющих соотношениям

y j 0 (j = 1, 2, ... , n), = 1. (1.16)

Так как каждый раз применение игроком одной чистой стратегии исключает применение другой, то чистые стратегии являются несовместимыми событиями. Кроме того, они являются единственно возможными событиями.

Очевидно, чистая стратегия есть частный случай смешанной стратегии. Действительно, если в смешанной стратегии какая-либо i-я чистая стратегия применяется с вероятностью единица, то все остальные чистые стратегии не применяются. И эта i-я чистая стратегия является частным случаем смешанной стратегии. Для соблюдения секретности каждый игрок применяет свои стратегии независимо от выбора другого игрока.

Определение. Средний выигрыш первого игрока в матричной игре с матрицей А выражается в виде математического ожидания его выигрышей

Е (А, х, у)= (1.20)

Очевидно, средний выигрыш первого игрока есть функция двух наборов переменных х и у. Первый игрок имеет целью за счет изменения своих смешанных стратегий х максимально увеличить свой средний выигрыш Е (А, х, у), а второй -- за счет своих смешанных стратегий стремится сделать Е (А, х, у) минимальным, т. e. для решения игры необходимо найти такие х, у, при которых достигается верхняя цена игры.

1.3 Игра порядка 22

Матричная игра порядка 22 задается следующей матрицей выигрышей первого игрока:

Решение этой игры следует начинать с отыскания седловой точки в чистых стратегиях. С этой целью находят минимальный элемент в первой строке и проверяют, является ли он максимальным в своем столбце. Если такого элемента не нашли, то аналогично проверяют вторую строку. Если во второй строке такой элемент найден, то он является седловым.

Отысканием седлового элемента, если такой имеется, заканчивается процесс нахождения ее решения, так как в этом случае найдена цена игры --седловой элемент и седловая точка, т. е. пара чистых стратегий, для первого и второго игрока, составляющих оптимальные чистые стратегии. Если же седловой точки в чистых стратегиях не оказалось, то надо отыскать седловую точку в смешанных стратегиях, которая обязательно существует согласно основной теореме матричных игр.

Обозначим через х=(х 1 ,х 2), у=(у 1 ,у 2) смешанные стратегии соответственно первого и второго игроков. Напомним, что х 1 означает вероятность применения первым игроком своей первой стратегии, а х 2 = 1 - х 1 - вероятность применения им своей второй стратегии. Аналогично для второго игрока: у 1 - вероятность применения им первой стратегии, у 2 = 1 - у 1 - вероятность применения им второй стратегии.

Согласно следствию из теореме, для оптимальности смешанных стратегий х и у необходимо и достаточно, чтобы для неотрицательных х 1 , х 2 , у 1 , у 2 выполнялись следующие соотношения:

Покажем теперь, что если матричная игра не имеет седловой точки в чистых стратегиях, то эти неравенства должны превращаться в равенства:

В самом деле. Пусть игра не имеет седловой точки в чистых стратегиях, тогда оптимальные значения смешанных стратегий удовлетворяют неравенствам

0<<1, 0<< 1,

0< <1, 01. (1.25)

Предположим, что оба неравенства из (1.22) будут строгими

тогда согласно теореме должно у 1 = у 2 = 0, что противоречит условиям (1.25).

Аналогично доказывается, что оба неравенства из (1.23) не могут быть строгими неравенствами.

Предположим теперь, что одно из неравенств (1.22) может быть строгим, например первое

Это значит, что согласно теореме у 1 = 0, у 2 =1. Следовательно, из (1.23) получаем

Если оба неравенства (1.24) строгие, то по теореме должно х 1 = х 2 = 0, что противоречит (1.25). Если же а 12 а 22 , то одно из неравенств (1.27) строгое, а другое -- равенство. Причем равенство будет выполняться для большего элемента из а 12 и а 22 , т. е. одно неравенство из (1.27) должно быть строгим. Например а 12 < а 22 . Тогда справедливо а 12 < v, а это равносильно тому, что первое неравенство из (1.24) строгое. Тогда согласно теореме должно х 1 = 0, что противоречит условию (1.25). Если а 12 = а 22 , то оба неравенства (1.27) превращаются в равенства и тогда можно положить х 1 = 0, что противоречит (1.25). Итак, предположение о том, что первое неравенство из (1.22) может быть строгим, не справедливо. Аналогично можно показать, что второе неравенство из (1.22) также не может быть строгим.

Таким образом показано, что если матричная игра не имеет седловой точки в чистых стратегиях, то для оптимальных стратегий первого игрока неравенства (1.22) превращаются в равенства. Аналогичные рассуждения относительно неравенств (1.23) приведут к тому, что в этом случае неравенства (1.23) должны быть равенствами.

Итак, если матричная игра порядка 22 не имеет седловой точки, то оптимальные смешанные стратегии игроков и цену игры можно определить, решив систему уравнений (1.24). Установлено также, что если в матричной игре порядка 2x2 один из игроков имеет оптимальную чистую стратегию, то и другой игрок также имеет оптимальную чистую стратегию.

Следовательно, если матричная игра не имеет седловой точки в чистых стратегиях, то она должна иметь решение в смешанных стратегиях, которые определяются из уравнений (1.24). Решение системы (1.25)

1.4 Алгебраический метод

Возможны два случая для решения задач алгебраическим методом:

1. матрица имеет седловую точку;

2. матрица не имеет седловую точку.

В первом случае решение - это пара стратегий, образующих седловую точку игры. Рассмотрим второй случай. Решения здесь следует искать в смешанных стратегиях:

Отыщем стратегии и. При использовании первым игроком своей оптимальной стратегии второй игрок может, например, применить две такие чистые стратегии

При этом в силу свойства, если один из игроков применяет оптимальную смешанную стратегию, а другой - любую чистую, входящую в его оптимальную смешанную стратегию с вероятностью не равной нулю, то математическое ожидание выигрыша всегда остается неизменным и равным цене игры, т.е.

Выигрыш должен в каждом из этих случаев быть равен цене игры V. В таком случае справедливы такие соотношения:

Систему уравнений, аналогичную (2.5), (2.6) можно составить и для оптимальной стратегии второго игрока:

Принимая во внимание условие нормировки:

Решим совместно уравнение (1.37) - (1.41) относительно неизвестных можно решать и не все сразу, а по три: отдельно (1.36), (1.38), (1.40) и (1.37), (1.39), (1.41). В результате решения получим:

1.5 Графический метод

Приближенное решение игры 22 можно довольно просто получить воспользовавшись графическим методом. Суть его заключается в следующем:

Рисунок 1.1- нахождение участка единичной длинны

Выделить на оси абсцисс участок единичной длины. Левый конец его будет изображать первую стратегию первого игрока, а правый вторую. Все промежуточные точки соответствуют смешанным стратегиям первого игрока, причем длина отрезка справа от точки равна вероятности применения первой стратегии, а длина отрезка слева от - вероятности применения второй стратегии первым игроком.

Проведены две оси I-I и II-II. На I-I будем откладывать выигрыш при использовании первым игроком первой стратегии, на II-II при использовании им второй стратегии. Пусть, например, второй игрок применил свою первую стратегию, тогда на оси I-I следует отложить величину, а на оси II-II - величину

При любой смешанной стратегии первого игрока его выигрыш определится величиной отрезка. Линия I-I соответствует применению первой стратегии вторым игроком, будем её называть первой стратегией второго игрока. Аналогично можно построить и вторую стратегию второго игрока. Тогда в целом графическое отображение матрицы игры примет такой вид:

Рисунок 1.2 - нахождение цены игры

Следует однако отметить, что это построение проводилось для первого игрока. Здесь длина отрезка ровна цене игры V.

Линия 1N2 называется нижней границей выигрыша. Здесь наглядно видно, что точка N соответствует максимальной величине гарантированного выигрыша первого игрока.

Вообще то говоря, стратегию второго игрока также можно определить из этого рисунка, например такими способами. На оси I-I:

либо на оси II-II

Однако стратегию второго игрока можно определить и аналогично тому, как это делается для первого игрока, т.е. построить такой график.

Рисунок 1.3 - определение стратегии второго игрока

Здесь линия 1N2 - верхняя граница проигрыша. Точка N соответствует минимальному из возможных проигрышей второго игрока, она то и определяет стратегию.

В зависимость от конкретных значений коэффициентов матрицы графика могут иметь и иной вид, например, такой:

Рисунок 1.4 - определяет оптимальную стратегию первого игрока

В такой ситуации оптимальная стратегия первого игрока является чистой:

1.6 Игры 2n или m2

В играх порядка 2n первый игрок имеет 2 чистых стратегии, а второй n чистых стратегий, т.е. матрица выигрышей первого игрока имеет вид:

Если такая игра имеет седловую точку, то её легко найти и получить решение.

Предположим, что игра имеет седловые точки. Тогда необходимо найти такие смешанные стратегии и соответственно первого и второго игроков и цену игры v, которые удовлетворяют соотношениям:

Поскольку игра не имеет седловой точки, то неравенство (1.54) заменяют не равенствами

Для решения систем (1.56), (1.55), (1.53) целесообразно воспользоваться графическим методом. С целью введем обозначения для левой части неравенства (1.53)

матричный игра математический модель

или, поставив из (1.55) и проведя простые преобразования, получим

где - это средний выигрыш первого игрока при условии, что он применяет свою смешанную стратегию, а второй свою j-ю чистую стратегию.

Каждому значению j=1, 2, … , n согласно выражению соответствует прямая линия в прямоугольной системе координат.

Цель второго игрока минимизировать выигрыш первого игрока за счет выбора своих стратегий. Поэтому вычисляем

где - нижняя граница множества ограничений. На рисунке 1.6 график функции изображен жирной линей.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рисунок 1.6 - график функции

Цель первого игрока максимизировать свой выигрыш за счет выбора, т.е. вычислить

На рисунке 1.6 точка означает максимальное значение, которое получается при. Цена игры, так как:

Таким образом графически определяется оптимальная смешанная стратегия первого игрока и пара чистых стратегий второго игрока, которые в пересечении образуют точку На рисунке 1.6 изображены 2-я и 3-я стратегия второго игрока. Для таких стратегий неравенства (1.53) превращаются в равенства. На рисунке 1.6 это стратегии j=2, j=3.

Теперь можно решить систему уравнений

и точно определить значения и (графически они определяются приближенно). Затем положив все значения при тех j, для которых не образуют точку, решая систему уравнений (1.56) Для примера, приведенного на рисунке 1.6, это следующая система:

а остальные Эту систему можно решить, пологая Если при некоторой j=j 0 стратегии второго игрока образуют точку М 0 и то максимальное значение нижней границы множеств ограничений изображается отрезком, параллельным оси В этом случае первый игрок имеет бесконечно много оптимальных значений а цена игры Этот случай изображен на рисунке 1.7, где и отрезок MN изображают верхнее ограничений, оптимальные значения находятся в пределах У второго игрока имеется чистая оптимальная стратегия j=j 0 .

Матричные игры порядка m2 решаются также с помощью графического метода. Матрица выигрышей первого игрока в этом случае имеет вид

Смешанные стратегии соответственно первого и второго игроков определяются аналогично, как в случае игр порядка 2n. Пусть по горизонтальной оси откладывается значение от 0 до 1, по вертикальной - значение среднего выигрыша) первого игрока при условиях, что первый игрок применяет свою чистую i-ю стратегию (i=1, 2, …, m), второй - свою смешанную стратегию (y 1 , 1- y 1) =y. Например, при m=4 графически) могут быть представлены так, как изображено на рисунке 1.7.

Рисунок 1.7 - график функции)

Первый игрок старается максимизировать свой средний выигрыш, поэтому он стремиться найти

Функция изображена жирной линей и представляет собой верхнюю границу множества ограничений. Второй игрок старается минимизировать за счет выбора своей стратегии, т.е. величина соответствует

На рисунке значение обозначено точкой. Другими словами определяются такие две стратегии первого игрока и вероятность для второго игрока, при которых достигается равенство

Из рисунка видим, что цена игры - это ордината точки, вероятность - это абсцисса точки. Для остальных чистых стратегий первого игрока в оптимальной смешанной стратегии должно ().

Таким образом, решая систему (1.69), получим оптимальную стратегию второго игрока и цену игры. Оптимальную смешанную стратегию для первого игрока найдем, решая следующую систему уравнений:

1.7 Матричный метод решения игр

Обозначения:

Любая квадратная подматрица матрицы порядка

Матрица (1);

Матрица, транспонированная к;

Матрица, присоединенная к В;

- (1) матрица полученная из X вычеркиванием элементов, которые соответствуют строкам, вычеркнутым из при получении;

- (1) матрица полученная из вычеркиванием элементов, которые соответствуют строкам, вычеркнутым из при получении.

Алгоритм:

1. Выберем квадратную подматрицу матрицы порядка () и вычислим

2. Если некоторое или, то отбрасываем найденную матрицу и пробуем другую матрицу.

3. Если (), (), вычисляем и строим X и из и, добавляя в соответствующих местах нули.

Проверяем, удовлетворяются ли неравенства

для каждого (1.75)

и неравенства

для каждого (1.76)

Если одно из соотношений не выполнено, то пробуем другое. Если все соотношения справедливы, то X, и искомые решения.

1.8 Метод последовательного приближения цены игры

При исследовании игровых ситуаций часто может случиться так, что нет необходимости в получении точного решения игры или в следствии каких-либо причин найти точное значение цены игры и оптимальных смешанных стратегий невозможно или очень трудно. Тогда можно воспользоваться приближенным методами решения матричной игры.

Опишем один из таких методов - метод последовательного приближения цены игры. Количество вычисленных при использовании метода увеличивается примерно пропорционально числу строк и столбцов матрицы выигрышей.

Сущность метода состоит в следующем: мысленно игра проводится много раз, т.е. последовательно, в каждой партии игры игрок выбирает ту стратегию, которая дает ему наибольший общий (суммарный) выигрыш.

После такой реализации некоторых партий вычисляет средние значение выигрыша первого игрока, проигрыша второго игрока, и их среднее арифметическое принимается за приближенное значение цены игры. Метод дает возможность найти приближенное значение оптимальных смешанных стратегий обоих игроков: надо подсчитать частоту применения каждой чистой стратегии и принять её за приближенное значение в оптимальной смешанной стратегии соответствующего игрока.

Можно доказать, что с неограниченным увеличением числа программных партий средний выигрыш первого игрока и средний проигрыш второго игрока будет неограниченно приближаться к цене игры, а приближенные значения смешанных стратегий в том случае, когда решение игры единственное, будет стремиться к оптимальным смешанным стратегиям каждого игрока. Вообще говоря, стремление приближенных значений выше указанных величин к истинным значениям происходит медленно. Однако этот процесс легко механизировать и тем самым помочь получению решения игры с требуемой степенью точности даже при матрицах выигрышей сравнительно большого порядка.

2. Практическая часть

Пара решает куда пойти погулять и с пользой для двоих провести время.

Девушка решает пойти погулять в парк подышать свежим воздухом, вечером сходить на просмотр кинофильма в ближайший кинотеатр.

Парень предлагает пойти сходить в технопарк, после посмотреть матч футболистов местного клуба в центральном стадионе.

В соответствии с этим нужно найти за какое время будет достигнута цель одного из игроков. Матрица выигрышей будет выглядеть таким образом:

Таблица 1. Матрица выигрышей

Так как 1 2 , Очевидно, в этой игре нет седловой точки в чистых стратегиях. Поэтому воспользуемся следующими формулами, и получим:

Размещено на http://www.allbest.ru/

2.2 Игра 2xn и mx2

Задача 1(2xn)

Выращивается две зерновые культуры для сухого и влажного климата.

А состояние природы можно рассматривать как: сухое, влажное, умеренное.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Максимальное значение М() достигается в точке М, образуемой пересечением линий, соответствующих j=1, j"=2. По этому полагаем: ,

Задача 2(mx2)

Парень и девушка рассматривают варианты куда пойти на выходные.

Выбор места отдыха можно представить как: парк, кино, рессторан.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Максимальное значение М() достигается в точке E, образуемой пересечением линий, соответствующих j=1, j"=2. По этому полагаем: ,

Для определения значения, v надо решить следующие уравнения:

2.5 Матричный метод

Два конкурирующих друг с другом ресторана(предприятия общественного питания) предоставляют следующие наборы услуг. Первый ресторан расположен в центре, а другая на окраине города.

Центральный ресторан включает следующие услуги:

1) более дорогое и качественное обслуживание клиентов;

2) блюда ориентированы на французскую кухню;

Второй ресторан предоставляет:

1) не дорогое и качественное обслуживание;

2) меню сочетает в себе различные известные кухни мира;

3) также постоянные акции и скидки;

4) осуществляет доставку и принимает заказы по доставке на дом.

В соответствии с заданием прибыль за один день между двумя ресторанами распределится следующим образом:

Таблица 2. Матрица выигрышей

Решение игры вида матричным способом:

Существует шесть подматриц и:

Рассмотрим матрицу:

x 1 = ? 0, x 2 = ? 0

Так как x 2 = < 0, то мы отбрасываем.

Рассмотрим теперь матрицу:

x 1 = ? 0, x 2 = ? 0

Цена игры.

Это соотношение противоречит требованию, поэтому не подходит.

Рассмотрим теперь матрицу:

x 1 = , x 2 = ? 0,

y 1 = < 0, y 2 = ? 0.

Так как y 1 = < 0, то мы отбрасываем и.

Рассмотрим теперь матрицу:

x 1 = , x 2 = 0, так как x 2 = 0, то мы отбрасываем и.

Рассмотрим теперь матрицу:

x 1 = , x 2 = ? 0. Так как x 1 = 0, то мы отбрасываем и.

Рассмотрим теперь матрицу:

x 1 = , x 2 =, y 1 = , y 2 =, то продолжаем дальше:

x 1 = , x 2 =, y 1 = , y 2 = или

Цена игры.

Теперь проверяются основные соотношения:

Размещено на http://www.allbest.ru/

Ответ: x 1 = , x 2 =, y 1 = , y 2 = , y 3 =0, y 4 =0,.

Метод Брауна

По требованию рабочих некоторой компании профсоюз ведет с ее руководством переговоры об организации горячих обедов за счет компании. Профсоюз, представляющий интересы рабочих, добивается того, чтобы обед был как можно более качественным и, следовательно, более дорогим. Руководство компании имеет противоположные интересы. В конце концов стороны договорились о следующем. Профсоюз (игрок 1) выбирает одну из трех фирм (А 1 , А 2 , А 3), поставляющих горячее питание, а руководство компании (игрок 2) -- набор блюд из трех возможных вариантов (B 1 , B 2 , B 3). После подписания соглашения профсоюз формирует следующую платежную матрицу, элементы которой представляют стоимость набора блюд:

Пусть игра задана следующей матрицей выигрышей:

Предположим, что второй игрок выбрал свою 2-ю стратегию, тогда первый получит:

2, если он применит свою 1-ю стратегию,

3, если он применит свою 3-ю стратегию.

Полученные значения сводится в таблицу 1.

Таблица 3. Стратегия второго игрока

Из таблицы 3 видно, что при 2-й стратегии второго игрока первый получит наибольший выигрыш 3, используя свою 2-ю либо 3-ю стратегию. Поскольку первый игрок желает получить максимальный выигрыш, то он на 2-ю стратегию второго игрока отвечает своей 2-й стратегией. При 2-й стратегии первого игрока второй проиграет:

1, если он применит свою 1-ю стратегию,

3, если он применит свою 2-ю стратегию,

4, если он применит свою 3-ю стратегию.

Таблица 4. Стратегия первого игрока

Из таблицы 2 видно, что при 2-й стратегии первого игрока второй игрок будет иметь наименьший проигрыш 1, если он применит свою 1-ю стратегию. Поскольку второй игрок желает проиграть меньше, то в ответ на 2-ю стратегию первого игрока он применит свою 1-ю стратегию. Полученные результаты сводятся в таблицу 5.

Таблица 5. Стратегии соответственно первого и второго игроков

В табл. 5 в столбце стратегии второго игрока во второй строке находится цифра 1, которая указывает, что во второй партии второму игроку выгодно применять свою 1-ю стратегию; в столбце и находится наибольший средний выигрыш 3 первого игрока, полученный им в первой партии; в столбце w стоит наименьший средний проигрыш 1, полученный вторым игроком в первой партии; в столбце v находится среднее арифметическое v = (и + w) -- т. е. приближенное значение цены игры, полученное в результате проигрывания одной партии игры. Если второй игрок применит свою 1-ю стратегию, то первый получит 3, 1, 2 соответственно при своих 1-й, 2-й, 3-й стратегиях, а суммарный выигрыш первого игрока за обе партии составит:

2 + 3=5 при его 1-й стратегии,

3 + 1=4 при его 2-й стратегии,

3 + 2=5 при его 3-й стратегии.

Эти суммарные выигрыши записываются во второй строке табл. 3 и в столбцах, соответствующих стратегиям первого игрока: 1, 2, 3.

Из всех суммарных выигрышей наибольшим является 5. Он получается при 1-й и 3-й стратегии первого игрока, то ему можно выбирать любую из них; скажем, в таких случаях, когда имеются два (или несколько) одинаковых суммарных выигрышей, выбирают стратегию с наименьшим номером (в нашем случае надо взять 1-ю стратегию).

При 1-й стратегии первого игрока второй проиграет 3, 2, 3 соответственно 1-й, 2-й, 3-й его стратегиям, а суммарный проигрыш второго игрока за обе партии составит:

1 + 3=4 при его 1-й стратегии,

3 + 2=5 при его 2-й стратегии,

4 + 3=7 при его 3-й стратегии.

Эти суммарные проигрыши записываются во второй строке табл. 5 и в столбцах, соответствующих 1-й, 2-й, 3-й стратегиям второго игрока.

Из всех суммарных проигрышей второго игрока наименьшим является 4. Он получается при его 1-й стратегии, следовательно, в третьей партии второй игрок должен применить свою 1-ю стратегию. В столбец и ставится наибольший суммарный выигрыш первого игрока за две партии, деленный на число партий, т. е. ; в столбец w ставится наименьший суммарный проигрыш второго игрока за две партии, деленный на число партий, т. е. ; в столбце v ставится среднее арифметическое этих значений, т. е. = Это число принимается приближенное значение цены игры при двух «сыгранных» партиях.

Таким образом, получается следующая таблица 4, для двух партий игры.

Таблица 6. Суммарные выигрыш и проигрыш игроков при двух сыгранных партиях

В третьей строке таблицы 6 в столбце стратегии второго игрока находится число 1, которое показывает, что в третьей партии второй игрок должен применить свою 1-ю стратегию. В этом случае первый игрок выигрывает 3, 1, 2, используя соответственно свои 1-ю, 2-ю, 3-ю стратегии, а его суммарный выигрыш за три партии составит:

3 + 5 = 8 при его 1-й стратегии,

1 +4 = 5 при его 2-й стратегии,

2 + 5 = 7 при его 3-й стратегии.

Эти суммарные выигрыши первого игрока записываются в третьей строке таблица 6 и столбцах, соответствующих его стратегиям 1, 2, 3. Так как наибольший суммарный выигрыш 8 первого игрока получается при 1-й стратегии, соответственно выбирает 1-ю.

При 1-й стратегии первого игрока второй проиграет 3, 1, 2 соответственно 1-й, 2-й, 3-й его стратегиям, а суммарный проигрыш второго игрока за обе партии составит:

3 + 4=7 при его 1-й стратегии,

2 + 5=7 при его 2-й стратегии,

3 + 7=10 при его 3-й стратегии.

Эти суммарные проигрыши записываются во третьей строке табл. 6 и в столбцах, соответствующих 1-й, 2-й, 3-й стратегиям второго игрока. Из всех суммарных его проигрышей 7 является наименьшим и получается при его 1-й и 2-й стратегиях, далее второму игроку надо применить свою 1-ю стратегию.

В табл. 6 в третьей строке в столбце и записывается наибольший суммарный выигрыш первого игрока за три партии, деленный на число партии, т. е. ; в столбце w ставится наименьший суммарный проигрыш второго игрока за три партии, деленный на число партий, т. е. ; в столбце v ставится их среднее арифметическое

Таким образом получаем табл. 7 для трех партий.

Таблица 7. Суммарные выигрыш и проигрыш игроков при трех сыгранных партиях

Таблица 8. Конечная таблица при двадцати сыгранных партиях

Из табл. 7 и 8 видно, что в 20-ти проигранных партиях стратегии 1, 2, 3 для первого игрока встречаются соответственно 12, 3, 5 раз, следовательно, их относительные частоты соответственно равны; стратегии 1, 2, 3 для второго игрока встречаются соответственно 7, 11,2 раза, следовательно их относительные частоты соответственно равны; приближенное значение цены игры. Такое приближение достаточно хорошее.

В заключение отметим, что, если игра имеет больше одного решения, то приближенные значения цены игры по-прежнему будут неограниченно приближаться к истинной цене игры, а относительные частоты появления стратегий игроков уже не обязательно будут приближаться к истинным оптимальным смешанным стратегиям игроков.

Анализ результатов

В данной курсовой работе изучен материал нахождения решения антагонистических игр графическим, матричным методом, методом последовательного приближения цены игры. Найдены оптимальные стратегии первого и второго игрока, а также цена игры в играх 2x2, 2xn и mx2, а так же в играх с использованием матричного метода и метода Брауна.

На примере пары была смоделирована игра 2x2, которая была решена алгебраическим и графическим методом. Решая игру алгебраическим методом решение показывает, что применяя свои оптимальные смешанные стратегии первый и второй игрок проведут вместе 4.6 часа. Графическое решение задачи получилось с небольшой погрешностью и составило 4.5 часа.

А так же были смоделированы две задачи 2xn и mx2. В задаче 2xn была рассмотрена с/х культура и стратегия показывает, что лучше поле засадить 50 на 50, а цена игры составила 3.75 млн. рублей. А в задаче mx2 была рассмотрена пара, стратегия которой показала, что дешевле пойти в парк и кино, а цена затраты составят 4.3 рублей.

Была смоделирована задача для матричного метода, в которой рассматривались два ресторана, решение задачи показало, что при применение свой оптимальной смешанной стратегии прибыль первого ресторана составит 15.6 млн. рублей, а при использовании своей оптимальной смешанной стратегии вторым рестораном, он не позволит первому заработать больше 15.6 млн. рублей. Решение графическим методом дало погрешность и цена игры составила 14.9 млн. рублей.

Для метода Брауна была составлена задача в которой рассматривается профсоюз и руководство компании, их задача обеспечить питание рабочих. При использовании обоими игроками своих оптимальных стратегий питание на человека составит 2.45 тыс. руб.

Список использованных источников

1) Вилисов В.Я. Конспект лекций «Теория игр и статистических решений», - Филиал - «Восход» МАИ. 1979. 146 с.

2) Крушевский А.В. Теория игр, - Киев: Вища школа, 1977. - 216 с.

3) Черчмень У., Акоф Р., Арноф Л., Введение в исследование операций. - М.: Наука. 1967. - 488 с.

4) http://www.math-pr.com/exampl_gt2.htm

5) http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%90%D0%BD%D1% 82%D0%B0%D0 %B3%D0%BE%D0%BD%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B0%D1%8F_%D0%B8%D0%B3%D1%80%D0%B0

Размещено на Allbest.ru

Подобные документы

Принятие решений как особый вид человеческой деятельности. Рациональное представление матрицы игры. Примеры матричных игр в чистой и смешанной стратегиях. Исследование операций: взаимосвязь задач линейного программирования с теоретико-игровой моделью.

курсовая работа , добавлен 05.05.2010


Игры, повторяемые многократно, их отличительные свойства и этапы. Смешанные стратегии, условия и возможности их использования на практике. Аналитический метод решения игры типа 2 x 2. Основные теоремы для прямоугольных игр. Алгебраические решения.

презентация , добавлен 23.10.2013


Основные определения теории биматричных игр. Пример биматричной игры "Студент-Преподаватель". Смешанные стратегии в биматричных играх. Поиск "равновесной ситуации". 2x2 биматричные игры и формулы для случая, когда у каждого игрока имеется две стратегии.

реферат , добавлен 13.02.2011


Изучение общих сведений о матричных и антагонистических играх. Понятие позиционной игры, дерева, информационного множества. Рассмотрение принципа максимина и принципа равновесия. Оптимальность по Парето. Позиционная неантагонистическая игра, ее свойства.

курсовая работа , добавлен 17.10.2014


Теория игр – раздел математики, предметом которого является изучение математических моделей принятия оптимальных решений в условиях конфликта. Итеративный метод Брауна-Робинсона. Монотонный итеративный алгоритм решения матричных игр.

дипломная работа , добавлен 08.08.2007


Составление платежной матрицы, поиск нижней и верхней чисты цены игры, максиминной и минимаксной стратегии игроков. Упрощение платежной матрицы. Решение матричной игры с помощью сведения к задаче линейного программирования и надстройки "Поиск решения".

контрольная работа , добавлен 10.11.2014


Теория игр - математическая теория конфликтных ситуаций. Разработка математической модели игры двух лиц с нулевой суммой, ее реализация в виде программных кодов. Метод решения задачи. Входные и выходные данные. Программа, руководство пользователя.

курсовая работа , добавлен 17.08.2013


Основные сведения о симплекс-методе, оценка его роли и значения в линейном программировании. Геометрическая интерпретация и алгебраический смысл. Отыскание максимума и минимума линейной функции, особые случаи. Решение задачи матричным симплекс-методом.

дипломная работа , добавлен 01.06.2015


Приемы построения математических моделей вычислительных систем, отображающих структуру и процессы их функционирования. Число обращений к файлам в процессе решения средней задачи. Определение возможности размещения файлов в накопителях внешней памяти.

лабораторная работа , добавлен 21.06.2013


Проектирование математической модели. Описание игры в крестики-нолики. Модель логической игры на основе булевой алгебры. Цифровые электронные устройства и разработка их математической модели. Игровой пульт, игровой контроллер, строка игрового поля.

• определить цену матричной игры (нижнюю и верхнюю границы), проверить наличие седловой точки, найти решение смешанной стратегии, найти минимаксную стратегию игроков;
• записать математическую модель пары двойственных задач линейного программирования, решить матричную игру методами: минимакс, симплекс-метод , графический (геометрический) метод, методом Брауна .

Инструкция . Выберите размерность матрицы, нажмите Далее. В новом диалоговом окне выберите метод решения матричной игры. Пример заполнения . Результаты вычислений оформляются в отчете формата Word .

Описание алгоритма:

1. На основании анализа платёжной матрицы следует определить, существуют ли в ней доминируемые стратегии, и исключить их.
2. Найти верхнюю и нижнюю цены игры и определить, имеет ли данная игра седловую точку (нижняя цена игры должна быть равна верхней цене игры).
3. Если седловая точка существует, то оптимальными стратегиями игроков, являющимися решением игры, будут их чистые стратегии, соответствующие седловой точке. Цена игры равна верхней и нижней цены игры, которые равны между собой.
4. Если игра не имеет седловой точки, то решение игры следует искать в смешанных стратегиях. Для определения оптимальных смешанных стратегий в играх m × n следует использовать симплекс-метод, предварительно переформулировав игровую задачу в задачу линейного программирования.

Представим алгоритм решения матричной игры графически.

Рисунок - Схема решения матричной игры.

Методы решения матричной игры в смешанных стратегиях

1. Решение игры через систему уравнений.
   Если задана квадратная матрица nxn (n=m), то вектор вероятностей можно найти, решив систему уравнений. Этот метод используется не всегда и применим только в отдельных случаях (если матрица 2x2 , то решение игры получается практически всегда). Если в решении получаются отрицательные вероятности, то данную систему решают симплекс-методом.
2. Решение игры графическим методом.
   В случаях, когда n=2 или m=2 , матричную игру можно решить графически .
3. Решение матричной игры симплекс-методом.
   В этом случае матричная игра сводится к

Самым простым случаем, подробно разработанным в теории игр, является конечная парная игра с нулевой суммой (антагонистическая игра двух лиц или двух коалиций). Рассмотрим такую игру G, в которой участвуют два игрока А и В, имеющие противоположные интересы: выигрыш одного равен проигрышу другого. Так как выигрыш игрока А равен выигрышу игрока В с обратным знаком, мы можем интересоваться только выигрышем а игрока . Естественно, А хочет максимизировать, а В - минимизировать а.

Для простоты отождествим себя мысленно с одним из игроков (пусть это будет А) и будем его называть «мы», а игрока В - «противник» (разумеется, никаких реальных преимуществ для А из этого не вытекает). Пусть у нас имеется возможных стратегий а у противника - возможных стратегий (такая игра называется игрой ). Обозначим наш выигрыш в случае, если мы пользуемся стратегией а противник - стратегией

Таблица 26.1

Предположим, что для каждой пары стратегий выигрыш (или средний выигрыш) a нам известен. Тогда в принципе можно составить прямоугольную таблицу (матрицу), в которой перечислены стратегии игроков и соответствующие выигрыши (см. таблицу 26.1).

Если такая таблица составлена, то говорят, что игра G приведена к матричной форме (само по себе приведение игры к такой форме уже может составить трудную задачу, а иногда и практически невыполнимую, из-за необозримого множества стратегий). Заметим, что если игра приведена к матричной форме, то многоходовая игра фактически сведена к одноходовой - от игрока требуется сделать только один ход: выбрать стратегию. Будем кратко обозначать матрицу игры

Рассмотрим пример игры G (4X5) в матричной форме. В нашем распоряжении (на выбор) четыре стратегии, у противника - пять стратегий. Матрица игры дана в таблице 26.2

Давайте, поразмышляем о том, какой стратегией нам (игроку А) воспользоваться? В матрице 26.2 есть соблазнительный выигрыш «10»; нас так и тянет выбрать стратегию при которой этот «лакомый кусок» нам достанется.

Но постойте: противник тоже не дурак! Если мы выберем стратегию он, назло нам, выберет стратегию , и мы получим какой-то жалкий выигрыш «1». Нет, выбирать стратегию нельзя! Как же быть? Очевидно, исходя из принципа осторожности (а он - основной принцип теории игр), надо выбрать ту стратегию, при которой наш минимальный выигрыш максимален.

Таблица 26.2

Это - так называемый «принцип мини-макса»: поступай так, чтобы при наихудшем для тебя поведении противника получить максимальный выигрыш.

Перепишем таблицу 26.2 и в правом добавочном столбце запишем минимальное значение выигрыша в каждой строке (минимум строки); обозначим его для строки а (см. таблицу 26.3).

Таблица 26.3

Из всех значений (правый столбец) выделено наибольшее (3). Ему соответствует стратегия . Выбрав эту стратегию, мы во всяком случав можем быть уверены, что (при любом поведении противника) выиграем не меньше, чем 3. Эта величина - наш гарантированный выигрыш; ведя себя осторожно, меньше этого мы получить не можем может быть, получим и больше).

Этот выигрыш называется нижней ценой игры (или «максимином» - максимальный из минимальных выигрышей). Будем обозначать его а. В нашем случае

Теперь станем на точку зрения противника и порассуждаем за него. Он ведь не пешка какая-нибудь, а тоже разумен! Выбирая стратегию, он хотел бы отдать поменьше, но должен рассчитывать на наше, наихудшее для него, поведение. Если он выберет стратегию мы ему ответим и он отдаст 10; если выберет - мы ему ответим и он отдаст и т. д. Припишем к таблице 26.3 добавочную нижнюю строку и в ней запишем максимумы столбцов Очевидно, осторожный противник должен выбрать ту стратегию, при которой эта величина минимальна (соответствующее значение 5 выделено в таблице 26.3). Эта величина Р - то значение выигрыша, больше которого заведомо не отдаст нам разумный противник. Она называется верхней ценой игры (или «ми-нимаксом» - минимальный из максимальных выигрышей). В нашем примере и достигается при стратегии противника

Итак, исходя из принципа осторожности (перестраховочного правила «всегда рассчитывай на худшее!»), мы должны выбрать стратегию А а противник - стратегию Такие стратегии называются «минимаксными» (вытекающими из принципа минимакса). До тех пор, пока обе стороны в нашем примере будут придерживаться своих минимаксных стратегий, выигрыш будет равен

Теперь представим себе на минуту, что мы узнали о том, что противник придерживается стратегии . А ну-ка, накажем его за это и выберем стратегию мы получим 5, а это не так уж плохо. Но ведь противник - тоже не промах; пусть он узнал, что наша стратегия , он тоже поторопится выбрать , сведя наш выигрыш к 2, и т. д. (партнеры «заметались по стратегиям»). Одним словом, минимаксные стратегии в нашем примере, неустойчивы по отношению к информации о поведении другой стороны; эти стратегии не обладают свойством равновесия.

Всегда ли это так? Нет, не всегда. Рассмотрим пример с матрицей, данной в таблице 26.4.

В этом примере нижняя цена игры равна верхней: . Что из этого вытекает? Минимаксные стратегии игроков А и В будут устойчивыми. Пока оба игрока их придерживаются, выигрыш равен 6. Посмотрим, что будет, если мы (А) узнаем, что противник (В) держится стратегии В?

Таблица 26.4

А ровно ничего не изменится, Потому что любое отступление от стратегии может только ухудшить наше положение. Равным образом, информация, полученная противником, не заставит его отступить от своей стратегии Пара стратегий обладает свойством равновесия (уравновешенная пара стратегий), а выигрыш (в нашем случае 6), достигаемый при этой паре стратегий, называется «седловой точкой матрицы». Признак наличия седловой точки и уравновешенной пары стратегий - это равенство нижней и верхней цены игры; общее значение называется ценой игры. Мы будем обозначать его

Стратегии (в данном случае ), при которых этот выигрыш достигается, называются оптимальными чистыми стратегиями, а их совокупность - решением игры. Про саму игру в этом случае говорят, что она решается в чистых стратегиях. Обеим сторонам А и В можно указать их оптимальные стратегии, при которых их положение - наилучшее из возможных. А что игрок А при этом выигрывает 6, а игрок В - проигрывает что же, таковы условия игры: они выгодны для А и невыгодны для В.

У читателя может возникнуть вопрос: а почему оптимальные стратегии называются «чистыми»? Несколько забегая вперед, ответим на этот вопрос: бывают стратегии «смешанные», состоящие в том, что игрок применяет не одну какую-то стратегию, а несколько, перемежая их случайным образом. Так вот, если допустить кроме чистых еще и смешанные стратегии, всякая конечная игра имеет решение - точку равновесия. Но об этом речь еще впереди.

Наличие седловой точки в игре - это далеко не правило, скорее - исключение. Большинство игр не имеет седловой точки. Впрочем, есть разновидность игр, которые всегда имеют седловую точку и, значит, решаются в чистых стратегиях. Это - так называемые «игры с полной информацией». Игрой с полной информацией называется такая игра, в которой каждый игрок при каждом личном ходе знает всю предысторию ее развития, т. е. результаты всех предыдущих ходов, как личных, так и случайных. Примерами игр с полной информацией могут служить: шашки, шахматы, «крестики и нолики» и т. п.

В теории игр доказывается, что каждая игра с полной информацией имеет седловую точку, и значит, решается в чистых стратегиях. В каждой игре с полной информацией существует пара оптимальных стратегий, дающая устойчивый выигрыш, равный цене игры и. Если такая игра состоит только из личных ходов, то при применении каждым игроком своей оптимальной стратегии она должна кончаться вполне определенным образом - выигрышем, равным цене игры. А значит, если решение игры известно, самая игра теряет смысл!

Возьмем элементарный пример игры с полной информацией: два игрока попеременно кладут пятаки на круглый стол, выбирая произвольно положение центра монеты (взаимное перекрытие монет не разрешается). Выигрывает тот, кто положит последний пятак (когда места для других уже не останется). Легко убедиться, что исход этой игры, в сущности, предрешен. Есть определенная стратегия, обеспечивающая выигрыш тому из игроков, кто кладет монету первым.

А именно, он должен первый раз положить пятак в центре стола, а затем на каждый ход противника отвечать симметричным ходом. Очевидно, как бы ни вел себя противник, ему не избежать проигрыша. Точно так же обстоит дело и с шахматами и вообще играми с полной информацией: любая из них, записанная в матричной форме, имеет седловую точку, и значит, решение в чистых стратегиях, а следовательно, имеет смысл только до тех пор, пока это решение не найдено. Скажем, шахматная игра либо всегда кончается выигрышем белых, либо всегда - выигрышем черных, либо всегда - ничьей, только чем именно - мы пока не знаем (к счастью для любителей шахмат). Прибавим еще: вряд ли будем знать и в обозримом будущем, ибо число стратегий так огромно, что крайне трудно (если не невозможно) привести игру к матричной форме и найти в ней седловую точку.

А теперь спросим себя, как быть, если игра не имеет седловой точки: Ну что же, если каждый игрок вынужден выбрать одну-единственную чистую стратегию, то делать нечего: надо руководствоваться принципом минимакса. Другое дело, если можно свои стратегии «смешивать», чередовать случайным образом с какими-то вероятностями. Применение смешанных стратегий мыслится таким образом: игра повторяется много раз; перед каждой партией игры, когда игроку предоставляется личный ход, он «передоверяет» свой выбор случайности, «бросает жребий», и берет ту стратегию, которая выпала (как организовать жребий, мы уже знаем из предыдущей главы).

Смешанные стратегии в теории игр представляют собой модель изменчивой, гибкой тактики, когда ни один из игроков не знает, как поведет себя противник в данной партии. Такая тактика (правда, обычно безо всяких математических обоснований) часто применяется в карточных играх. Заметим при этом, что лучший способ скрыть от противника свое поведение - это придать ему случайный характер и, значит, самому не знать заранее, как ты поступишь.

Итак, поговорим о смешанных стратегиях. Будем обозначать смешанные стратегии игроков А и В соответственно где (образующие в сумме единицу) - вероятности применения игроком А стратегий - вероятности применения игроком В стратегий

В частном случае, когда все вероятности, кроме одной, равны нулю, а эта одна - единице, смешанная стратегия превращается в чистую.

Существует основная теорема теории игр: любая конечная игра двух лиц с нулевой суммой имеет по крайней мере одно решение - пару оптимальных стратегий, в общем случае смешанных и соответствующую цену

Пара оптимальных стратегий образующих решение игры, обладает следующим свойством: если один из игроков придерживается своей оптимальной стратегии, то другому не может быть выгодно отступать от своей. Эта пара стратегий образует в игре некое положение равновесия: один игрок хочет обратить выигрыш в максимум, другой - в минймум, каждый тянет в свою сторону и, при разумном поведении обоих, устанавливается равновесие и устойчивый выигрыш v. Если то игра выгодна для нас, если - для противника; при игра «справедливая», одинаково выгодная для обоих участников.

Рассмотрим пример игры без седловой точки и приведем (без доказательства) ее решение. Игра состоит в следующем: два игрока А я В одновременно и не сговариваясь показывают один, два или три пальца. Выигрыш решает общее количество пальцев: если оно четное, выигрывает А и получает у В сумму, равную этому числу; если нечетное, то, наоборот, А платит В сумму, равную этому числу. Как поступать игрокам?

Составим матрицу игры. В одной партии у каждого игрока три стратегии: показать один, два или три пальца. Матрица 3х3 дана в таблице 26.5; в дополнительном правом столбце приведены минимумы строк, а в дополнительной нижней строке - максимумы столбцов.

Нижняя цена игры и соответствует стратегии Это значит, что при разумном, осторожном поведении, мы гарантируем, что не проиграем больше, чем 3. Слабое утешение, но все же лучше, чем, скажем, выигрыш - 5, встречающийся в некоторых клетках матрицы. Плохо нам, игроку Л... Но утешимся: положение противника, кажется, еще хуже: нижняя цена игры при. разумном поведении он отдаст нам минимум 4.

Задача принятия решения, рассматриваемая в рамках системного подхода, содержит три основные компоненты: в ней выделены система, управляющая подсистема и среда. Теперь мы переходим к изучению задач принятия решения, в которых на систему воздействует не одна, а несколько управляющих подсистем, каждая из которых имеет свои цели и возможности действий. Такой подход к принятию решений называется теоретико-игровым, а математические модели соответствующих взаимодействий называются играми . Ввиду различия целей управляющих подсистем, а также определенных ограничений на возможности обмена информацией между ними, указанные взаимодействия носят конфликтный характер. Поэтому всякая игра представляет собой математическую модель конфликта. Ограничимся случаем, когда управляющих подсистем две. Если цели систем противоположны, конфликт называется антагонистическим, а математическая модель такого конфликта называется антагонистической игрой ..

В теоретико-игровой терминологии 1-я управляющая подсистема называется игроком 1 , 2-я управляющая подсистема - игроком 2 , множества

их альтернативных действий называются множествами стратегий этих игроков. Пусть Х - множество стратегий игрока 1, Y - множество стратегий

игрока 2. Состояние системы однозначно определяется выбором управляющих воздействий подсистемами 1 и 2, то есть выбором стратегий

x ∈X и y ∈Y . Пусть F (x ,y )- оценка полезности для игрока 1 того состояния

системы, в которое она переходит при выборе игроком 1 стратегии х и

игроком 2 стратегии у . Число F (x ,y ) называется выигрышем игрока 1 в ситуации (x ,y ), а функция F - функцией выигрыша игрока 1 . Выигрыш игрока

1 одновременно является проигрышем игрока 2 , то есть величиной, которую первый игрок стремится увеличить, а второй – уменьшить. Это и есть

проявление антагонистического характера конфликта: интересы игроков полностью противоположны (то, что выигрывает один, проигрывает другой).

Антагонистическую игру естественно задать системой Г= (Х, Y, F ).

Заметим, что формально антагонистическая игра задается фактически так же, как и задача принятия решения в условиях неопределенности - если

отождествить управляющую подсистему 2 со средой. Содержательное различие между управляющей подсистемой и средой состоит в том, что

поведение первой носит целенаправленный характер. Если при составлении математической модели реального конфликта у нас есть основание (или намерение) рассматривать среду как противника, цель которого - принести

нам максимальный вред, то такую ситуацию можно представить в виде антагонистической игры. Другими словами, антагонистическую игру можно трактовать как крайний случай ЗПР в условиях неопределенности,

характеризуемый тем, что среда рассматривается как противник, имеющий цель. При этом мы должны ограничить виды гипотез о поведении среды.

Наиболее обоснованной здесь является гипотеза крайней осторожности, когда, принимая решение, мы рассчитываем на самый худший для нас возможный вариант действий среды.

Определение. Если Х и Y конечны, то антагонистическая игра называется матричной. В матричной игре можно считать, что X ={1,…,n },

Y ={1,…,m } и положить aij=F (i,j ). Таким образом, матричная игра полностью определяется матрицей A= (aij ), i =1,…,n, j =1,…,m .

Пример 3.1. Игра с двумя пальцами.

Два человека одновременно показывают один или два пальца и называют число 1 или 2, означающее, по мнению говорящего, количество

пальцев, показанное другим. После того, как пальцы показаны и числа названы, происходит распределение выигрыша по следующим правилам:

если оба угадали или оба не угадали, сколько пальцев показал их соперник, выигрыш каждого равен нулю; если угадал только один, то противник платит угадавшему сумму денег, пропорциональную общему числу показанных

Это антагонистическая матричная игра. Каждый игрок имеет четыре стратегии: 1- показать 1 палец и назвать 1, 2- показать 1 палец и назвать 2, 3-

показать 2 пальца и назвать 1, 4 - показать 2 пальца и назвать 2. Тогда матрица выигрышей A=(aij), i= 1,…, 4, j= 1,…, 4 определяется следующим образом:

a12= 2, a21 = – 2, a13=a42= –3, a24=a31= 3, a34 = – 4, a43= 4,aij= 0 в остальных случаях.

Пример 3.2. Дискретная игра типа дуэли.

Задачами дуэльного типа описывается, например, борьба двух игроков,

каждый из которых желает совершить некое единовременное действие (выброс на рынок партии товара, заявка о покупке на аукционе) и выбирает для этого время. Пусть игроки продвигаются навстречу друг другу на n шагов. После каждого сделанного шага игрок может выстрелить или не выстрелить в противника. Выстрел может быть у каждого только один. Считается, что вероятность попасть в противника, если продвинуться на k n =5 имеет вид